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Wissenschaftsjahr 2008 - Jahr der Mathematik

"Regulär oder singulär - das ist die Frage bei den Navier-Stokes-Gleichungen" - so lautet das Thema, über das Professor Dr. Reinhard Farwig von der Technischen Universität Darmstadt am Mittwoch, 11. Juni, in der Universität Bielefeld referieren wird. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein klassisches Modell zur Beschreibung der Strömungen von Flüssigkeiten. Der Vortrag richtet sich an ein mathematisch interessiertes Publikum und beginnt um 18 Uhr in Hörsaal 13.

In der Tradition der 23 Probleme, die David Hilbert 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress formuliert hatte und die stimulierend auf die Forschung wirkten, hat das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 wiederum sieben Probleme formuliert und je eine Million Dollar auf ihre Lösung ausgesetzt. Professor Farwigs Vortrag zu Navier-Stokes-Gleichungen ist der vierte einer Vortragsreihe, in der diese Probleme einem mathematisch interessierten Publikum vorgestellt werden sollen.

Die Strömung von Flüssigkeiten kann sehr komplexe Strukturen entwickeln, von der laminaren Schleichströmung über immer feiner werdende Wirbel hin zur turbulenten Strömung. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein klassisches Modell zur Beschreibung dieser Strömungen für viskose, inkompressible Flüssigkeiten.

Der Vortrag führt zunächst in die mathematische Analysis dieses Systems nichtlinearer partieller Differentialgleichungen ein und stellt das berühmte Regularitätsproblem vor: Es ist ein offenes Problem, ob sog. schwache Lösungen, die man mit bekannten mathematischen Methoden relativ leicht konstruieren kann, im dreidimensionalen Fall eindeutig und regulär sind. Dieses Problem tritt aus mathematischen und auch physikalischen Gründen im zweidimensionalen Fall nicht auf: auch schwache Lösungen sind dort glatt und eindeutig.

Der zweite Teil des Vortrags behandelt die bekannten Ergebnisse zur Regularität: Wie schlimm sind Singularitäten maximal, wie häufig und wo können sie auftreten? Unter welchen Zusatzvoraussetzungen können Singularitäten ausgeschlossen werden? Ein bekanntes Kriterium von J. Serrin besagt, dass eine schwache Lösung u eindeutig und regulär ist, falls eine zusätzliche Integrabilitätsbedingung in Raum und Zeit erfüllt ist. Inwieweit kann man diese Serrin-Schranke überwinden? Welche Rolle spielt die Druckfunktion? Gibt es neue Ansätze?